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Questão de Matemática do ENEM 2015: A medida de $d$, em milímetros, para que a taxa de cobertura da malha seja de 75% é
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Uma indústria produz malhas de proteção solar para serem aplicadas em vidros, de modo a diminuir a passagem de luz, a partir de fitas plásticas entrelaçadas perpendicularmente. Nas direções vertical e horizontal, são aplicadas fitas de 1 milímetro de largura, tal que a distância entre elas é de (d−1) milímetros, conforme a figura. O material utilizado não permite a passagem da luz, ou seja, somente o raio de luz que atingir as lacunas deixadas pelo entrelaçamento consegue transpor essa proteção.
Descrição da imagem (gerado por IA)
Desenho técnico em preto e branco de uma trama quadriculada formada por barras grossas pretas, com espaços vazios entre elas. Na parte superior, cinco setas indicam que cada barra vertical tem largura de 1 mm. Na lateral esquerda, quatro setas indicam que cada barra horizontal também tem 1 mm de espessura. Na lateral direita, a letra d marca três vezes o espaçamento vertical entre as barras. Na parte inferior, a letra d marca quatro vezes o espaçamento horizontal entre as barras.
Textos contidos na imagem (gerado por IA)
1 mm 1 mm 1 mm 1 mm 1 mm 1 mm 1 mm 1 mm 1 mm d d d d d d d
A taxa de cobertura do vidro é o percentual da área da região coberta pelas fitas da malha, que são colocadas paralelamente às bordas do vidro. Essa indústria recebeu a encomenda de uma malha de proteção solar para ser aplicada em um vidro retangular de 5 m de largura por 9 m de comprimento.
A medida de d, em milímetros, para que a taxa de cobertura da malha seja de 75% é
Como a malha se repete a cada d milímetros, basta analisar uma célula quadrada de lado d. Nessa célula, uma faixa horizontal de 1 mm de largura cobre uma área de 1⋅d, e uma faixa vertical cobre d⋅1; no cruzamento entre elas há uma área de 1⋅1=1 mm² que foi contada duas vezes, então a área efetivamente coberta é d+d−1=2d−1. A taxa de cobertura é a razão entre a área coberta e a área total da célula: d22d−1. Para essa taxa ser 75%=43, temos d22d−1=43, ou seja, 4(2d−1)=3d2, o que dá 3d2−8d+4=0. As raízes são d=2 e d=32; como a distância entre as fitas é d−1>0, é necessário d>1, portanto d=2 mm.
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