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Questão de Matemática do ENEM 2011 PPL: A equação algébrica que descreve $r_n$, no plano cartesiano, é
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Um programador visual deseja modificar uma imagem, aumentando seu comprimento e mantendo sua largura. As figuras 1 e 2 representam, respectivamente, a imagem original e a transformada pela duplicação do comprimento.
Descrição da imagem (gerado por IA)
Duas figuras lado a lado, ambas sobre malhas quadriculadas com eixos x (horizontal) e y (vertical). Na Figura 1, a malha vai de 0 a cerca de 5 em x e de 0 a 7 em y; há pequenos retângulos cinza na parte superior da malha e, na base, uma faixa cinza em forma de U com laterais inclinadas. Uma reta r₁ atravessa a origem descendo para a direita, e os pontos A₁ (à esquerda dela) e B₁ (junto à faixa cinza) estão marcados. A Figura 2 repete a mesma composição, em malha maior (x de 0 a 11, y de 0 a 8), com os retângulos cinza e a faixa em U deslocados para a direita, e a reta r₂, com os pontos A₂ e B₂.
Textos contidos na imagem (gerado por IA)
Figura 1 Figura 2 y x r₁ A₁ B₁ r₂ A₂ B₂
Para modelar todas as possibilidades de transformação no comprimento dessa imagem, o programador precisa descobrir os padrões de todas as retas que contêm os segmentos que contornam os olhos, o nariz e a boca e, em seguida, elaborar o programa. No exemplo anterior, o segmento A1B1 da figura 1, contido na reta r1, transformou-se no segmento A2B2 da figura 2, contido na reta r2. Suponha que, mantendo constante a largura da imagem, seu comprimento seja multiplicado por n, sendo n um número inteiro e positivo, e que, dessa forma, a reta r1 sofra as mesmas transformações. Nessas condições, o segmento AnBn estará contido na reta rn.
A equação algébrica que descreve rn, no plano cartesiano, é
Na figura 1, a reta r1 corta o eixo y em y=3 e o eixo x em x=3, então sua equação é x+y=3. Como a largura é mantida e o comprimento é multiplicado por n, a coordenada horizontal é multiplicada por n, enquanto a vertical fica igual; assim, um ponto (x,y) de r1 passa para (nx,y) em rn. Substituindo x por x/n na equação original, temos nx+y=3, isto é, x+ny=3n. Portanto, a reta rn que contém o segmento AnBn é x+ny=3n.
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