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Questão de Matemática do ENEM 2017: Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa…
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Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio r da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.
Descrição da imagem (gerado por IA)
Diagrama esquemático de uma esfera com um corte. No centro está o ponto O; abaixo, o ponto A, indicado sobre uma linha horizontal que vai até o ponto B (na superfície). O raio da seção é marcado por r. A região hachurada corresponde a um segmento esférico (calota) com altura marcada h, indicada por setas verticais duplas. Etiquetas externas apontam: 'Região onde serão afixados os doces', na parte superior da esfera; 'A parte hachurada será apoiada na mesa', apontando para a região hachurada; e 'Calota a ser cortada e eliminada', apontando para a parte inferior da esfera.
Textos contidos na imagem (gerado por IA)
O A B r h Região onde serão afixados os doces A parte hachurada será apoiada na mesa Calota a ser cortada e eliminada
Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura h, em centímetro, igual a
O diâmetro é 10 cm, então o raio da esfera é R=5 cm. Se a calota removida tem altura h, o plano do corte fica a uma distância 5−h do centro. No triângulo retângulo formado pelo centro, pelo centro da seção circular e por um ponto da borda, vale r2+(5−h)2=52, logo r2=10h−h2. Como é exigido r≥3, temos 10h−h2≥9, ou h2−10h+9≤0, cujas soluções são 1≤h≤9. Para manter a maior superfície possível para afixar os doces, deve-se retirar a menor calota possível; assim, entre os valores que garantem a estabilidade, usa-se h=1 cm, e nesse caso r=3 cm.
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