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Questão de Matemática do ENEM 2020: Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?
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O artista gráfico holandês Maurits Cornelis Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.
Descrição da imagem (gerado por IA)
Figura geométrica em preto e branco formada por quadrados inscritos uns nos outros, cada um com metade do lado do anterior, criando uma espiral que desce em direção ao canto inferior esquerdo. O quadrado maior tem os vértices identificados: P no canto superior esquerdo, R no canto superior direito, S no canto inferior direito e T no canto inferior esquerdo; uma diagonal liga P a S. À esquerda, uma escala vertical com marcas graduadas indica 1 para a altura do quadrado maior, 1/2 para o quadrado seguinte e 1/4 para o próximo, com pontos de continuação abaixo. Também abaixo do desenho há pontos que indicam que a sequência prossegue indefinidamente.
Textos contidos na imagem (gerado por IA)
P R S T 1 1/2 1/4
O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.
Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?
O primeiro quadrado tem lado 1, que pode ser escrito como (21)0. A cada novo quadrado, o enunciado diz que o lado corresponde à metade da base do quadrado anterior; como a base tem a mesma medida do lado, cada lado seguinte é metade do anterior. Assim, os lados formam 1,21,41,…, ou seja, (21)n−1 para o n-ésimo quadrado. Para o centésimo quadrado, n=100, logo a medida do lado é (21)99.
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